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C.2.2 Euler(オイラー)法の紹介

微分 $ x'(t)=\displaystyle\frac{dx}{dt}$ は差分商 $ \displaystyle\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$ h\to 0$ の極限です。そこで、(1) 式の微分を差分商で置き換えて近似することによって、次の方程式を得ます。

$\displaystyle \frac{x_{j+1}-x_j}{h}=f(t_j,x_j) \quad (j=0,1,\ldots,N-1)
$

変形すると

$\displaystyle x_{j+1}=x_j+h f(t_j,x_j).$ (C.3)

これを漸化式として使って、$ x_0$ から順に $ x_1$, $ x_2$, $ \ldots$, $ x_N$ が計算出来ます。この方法を rubyオイラーEuler 法と呼びま す。

こうして得られる $ N+1$ 個の点 $ (t_j,x_j)$ を順に結んで得られる折れ線 関数は($ f$ に関する適当な仮定のもとで) $ N\to+\infty$ の時 ($ h=(b-a)/N$ について言えば $ h\to 0$)、真の解 $ x(t)$ に収束すること が証明できますC.6。ここでは簡単な例で収束を確か めてみましょう。


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Masashi Katsurada
平成18年4月28日