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常微分方程式としては正規形C.4のもののみを扱います。後で例で見るように、高階の方程式も一階の方程式に
帰着されますから、当面一階の方程式のみを考えます。
独立変数を 、未知関数を とすれば、一階正規形の常微分方程式
とは
|
(C.1) |
の形に表わされる方程式のことです。ここで は既知の関数です。
初期条件としては
|
(C.2) |
の形のものを考えます。 は既知の定数です。(1),(2) を同時に満たす関
数 を求めよ、というのが一階正規形常微分方程式の初期値問題です。
この時関数 を初期値問題 (1),(2) の解と呼びます。
常微分方程式の数値解法の基本的な考え方は次のようなものです。「問題と
なっている区間 を
と分割して、各``時刻'' での の値
(
) を近似的に求めることを目標とする。そのために微分方程式 (1)
から
を解とする
適当な差分方程式C.5を作り、それを解く。」
区間 の分割の仕方ですが、以下では簡単のため 等分すること
にします。つまり
となります。
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Masashi Katsurada
平成18年4月28日