6.1 渦糸

渦糸の物理学定義は今井 [13] を見よ、とある。 これは $3$ 次元空間の中のある曲線の上に渦度が集中して、 その外側では渦度が 0 となる Euler 方程式の解のことである。

$$\Vector{v}= \left( -\frac{1}{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{1}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2},0 \right)$$

これは $L^2$ には属さない。

$$\omega(t,x,y)=\sum_{k=1}^N\mathit{\Gamma}_k\delta(x+i y-z_k(t))$$

$$\psi(t,x,y) = \sum_{j=1}^N\frac{-\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \log\left\vert x+i y-z_j(t)\right\vert$$

$$= \sum_{j=1}^N\frac{-\mathit{\Gamma}_j}{2\pi}\frac{1}{2} \log\{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2\}$$

$$u=\psi_y= \sum_{j=1}^N\frac{-\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \frac{\half\cdot 2(x-x_j(t))}{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2}$$