6.2

「$\omega$ が $N$ この渦点で表わされる」 ある時刻で満たされれば、すべての時刻で満たされる。 また各渦の強さ $\mathit{\Gamma}_k$ は時間によらない定数である。

これから、各渦の位置 $z_j=x_j+i y_j$ ( $j=1,2,\cdots,N$) が 定まればよい。

速度ベクトル場は、

$$u(x,y,t)=\sum_{j=1}^N \frac{-\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \frac{y-y_j(t)}{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2}$$

$$v(x,y,t)=\sum_{j=1}^N \frac{\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \frac{x-x_j(t)}{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2}$$

ただし $\R^2$ から $(x_j(t),y_j(t))$ ( $j=1,2,\cdots,N$) を 除いたところで定義されている。

$$\frac{\D x_k}{\D t}=\sum_{1\le j\le N,j\ne k} \frac{-\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \frac{y-y_j(t)}{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2}$$

$$\frac{\D y_k}{\D t}=\sum_{1\le j\le N,j\ne k} \frac{\mathit{\Gamma}_j}{2\pi} \frac{x-x_j(t)}{(x-x_j(t))^2+(y-y_j(t))^2}$$

ただし

$f$ が連続ならば、一般に任意の点 $(x,y)$ において

$$f(x,y)=\lim_{\eps\to 0}\frac{1}{\pi\eps^2} \int_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2\le\eps^2}f(\xi,\eta)\,\D\xi\D\eta$$

であるので²、 速度場が連続ならば、 ある点における速度はその点の回りの速度の平均で置き換えて良い ことが分かる。 以下略

運動方程式の複素表示

$$\dot z_n(t)=-\frac{1}{2\pi i}\sum_{m\ne n} \frac{\mathit{\Gamma}_m}{\overline{{z_n(t)}}-\overline{z_m(t)}}$$

$$\mathit{\Gamma}_n\dot{\overline{z_n}}(t)= \frac{1}{2\pi i}\sum_{m\ne n} \frac{\mathit{\Gamma}_m}{z_n(t)-z_m(t)}$$

$$\frac{\rd H}{\rd z_n} =\frac{\rd}{\rd z_n} \left(-\frac{1}{4\pi} ... ...{2}\frac{\overline z_n-\overline z_m} {(z_n-z_m)(\overline z_n-\overline z_m)}$$