5.3.0.1 証明

$$\dint \omega_t\omega+u\omega\omega_x+v\omega\omega_y\Dx\Dy=0$$

ところで、

$$\dint\left(u\omega\omega_x+v\omega\omega_y\right) \DxDy =-\dint\left[(u\omega)_x\omega+(v\omega)_y\omega\right]\DxDy$$

$$=-\dint\left[(u_x+v_y)\omega^2 +u\omega_x\omega+v\omega_y\omega \right] \DxDy$$

$$=-\dint\left(u\omega_x\omega+v\omega_y\omega\right) \DxDy.$$

(最後の等式は非圧縮性条件による。) ゆえに

$$\dint u\omega_x\omega+v\omega_y\omega\Dx\Dy=0.$$

ゆえに

$$\dint\omega\omega_t\Dx\Dy=0.$$

これは

$$\frac{\rd}{\rd t}\dint \vert\omega\vert^2\Dx\Dy=0$$

を意味する。$\qedsymbol$

$3$ 次元では成立しない。

$$\frac{\rd\omega}{\rd t}+(v\cdot\nabla)\omega =\left(\omega\cdot\nabla\right)v+\curl f$$

右辺第1項が3次元に特有の項であり、エンストロフィーは時間とともに変化する。

ARRAY(0xf05ab8)