5.3 渦度

渦度 (vorticity): 速度ベクトル $v$ に $\curl$ ($\rot$) を施したベクトル場

$$\omega=\curl v$$

$F$ の回転 (rotation) とは

$$(\rot F)(x)= \left( \frac{\rd F_3}{\rd x_2}-\frac{\rd F_2}{\rd x_... ...ac{\rd F_3}{\rd x_1}, \frac{\rd F_2}{\rd x_1}-\frac{\rd F_1}{\rd x_2} \right).$$

$2$次元流の場合、

$$\omega=\left(0,0,\frac{\rd v}{\rd x}-\frac{\rd u}{\rd y}\right)$$

なので、以下では $2$ 次元の場合、渦度を

$$\omega=\frac{\rd v}{\rd x}-\frac{\rd u}{\rd y}$$

で定義することにする。

二次元渦度と流れ関数の関係は、次の Poisson 方程式で表わされる:

$$-\Laplacian \psi=\omega.$$

($u=\psi_y$, $v=-\psi_x$, $\omega=v_x-u_y$ から明らか。)

(2次元) 渦度方程式:

$$\frac{\rd\omega}{\rd t}+u\frac{\rd\omega}{\rd x}+v\frac{\rd\omega}{\rd y}=0$$

これは

$$\frac{\rd\Laplacian\psi}{\rd t}-J(\psi,\Laplacian\psi)=\frac{\rd f_1}{\rd y}-\frac{\rd f_2}{\rd x}=0$$

において、 $\Laplacian\psi=-\Omega$ を代入して、

$$\frac{\rd\omega}{\rd t}-J(\psi,\omega)=0.$$

$$\omega_t-\psi_x\omega_y+\psi_y\omega_x=0.$$

$$\omega_t+u \omega_x+v \omega_y=0.$$

(以上)