5.2 解の存在・非存在

Euler 方程式には解は存在するか？

物理系を記述する発展方程式 (時間を含む方程式) は、 初期条件、境界条件を適切に与えれば、解が一つに定まり、 初期条件、境界条件に連続に依存するのが望ましい。

これが成り立つことを適切である (well-posed) という。

微分方程式が導かれたからといって、 必ずしも適切であるとは限らない。

Euler 方程式の場合

• 2次元の場合、初期値境界値が適切に与えられたら、 解は $(t,x)\in[0,\infty)\times\Omega$ で一意的に存在
• 3次元の場合、初期値境界値が適切に与えられたら、 $\exists T>0$ $(t,x)\in[0,T]\times\Omega$ で存在。 (解が有限時間で爆発するかどうかは現在分かっていない。)
  一意性については言及していない。どうなるんだろ？
  「以下、考えないことにする」