流体とは？

流体とは静止状態においては接線応力が現われず、 法線応力が圧力であるような連続体のこと。

連続体とは分子構造を塗りつぶして得られる 連続的な物理的性質を持つ仮想的な物体のこと。

$$u_t+u u_x+v u_y=-p_x+f_1$$

を $y$ で偏微分して、

$$u_{t y}+u_y u_x+u u_{x y}+v_y u_y+v u_{yy}=-p_{x y}+$$

$$v_t+u v_x+v v_y=-p_y+f_2$$

を $x$ で偏微分して、

$$v_{t x}+u_x v_x+u v_{xx}+v_x v_y+v v_{yx}=-p_{y x}+(f_2)_x.$$

辺々引き算すると

$$\frac{\rd}{\rd t}\left(u_y-v_x\right) +u_x(u_y-v_x)+u\frac{\rd}{\rd x}(u_y-v_x) +v_y(u_y-v_x)+v\frac{\rd}{\rd y}(u_y-v_x) =(f_1)_y-(f_2)_x.$$

さて、

$$u=\psi_y,\quad v=-\psi_x$$

であるから、

$$u_y-v_x=\psi_{yy}+\psi_{xx}=\Laplacian\psi.$$

ゆえに

$$(\Laplacian \psi)_t+\psi_{yx}\Laplacian\psi+\psi_y(\Laplacian \psi)_x -\psi_{xy}\Laplacian \psi-\psi_{x}(\Laplacian \psi)_y=(f_1)_y-(f_2)_x$$

$$(\Laplacian \psi)_t +\psi_y(\Laplacian \psi)_x-\psi_{x}(\Laplacian \psi)_y=(f_1)_y-(f_2)_x$$

$$(\Laplacian \psi)_t-J(\psi,\Laplacian\psi)=(f_1)_y-(f_2)_x.$$