5.1

$$\frac{\rd v_i}{\rd t}+\sum_{k=1}^3 v_k\frac{\rd v_i}{\rd x_k}= -\frac{1}{\rho}\frac{\rd p}{\rd x_i}+f_i \mbox{($i=1,2,3$)}$$ (1)

$$\sum_{i=1}^3\frac{\rd v_i}{\rd x_i}=0$$ (2)

$f_i$: 直接流体に作用する力

完全流体: 密度一定、粘性無視できる。

$\rho$ 質量密度

$$\Vector{v}(t,x)=(v_1(t,x),v_2(t,x),v_3(t,x))$$

$p(t,x)$ 圧力

Eulerの運動方程式

非圧縮性条件

$2$次元流

$$\Vector{v}(t,x_1,x_2,x_3)=(u(t,x_1,x_2),v(t,x_1,x_2),0)$$

$x=x_1$, $y=x_2$, $u=v_1$, $v=v_2$ とおくと、

$$u_t+u u_x+v u_y=-p_x+f_1$$ (3)

$$v_t+u v_x+v v_y=-p_y+f_2$$ (4)

$$u_x+v_y=0$$ (5)

圧縮性条件から

$$u=\frac{\rd\psi}{\rd y},\quad v=-\frac{\rd\psi}{\rd x}$$

を満たす $1$ 価スカラー関数 $\psi$ が領域の各点の単連結な近傍で存在する。 $\psi$ を流れ関数という。

$\Omega$ 全体で $1$ 価関数となるため

[

l]ポテンシャルの存在・構成 $u_x=f$, $u_f=g$ を満たす $u$ が存在するためには

$$f_y=g_x$$

が必要である。この条件を満たすとき

$$u(x,y):=\int_C f\;\Dx+g\;\Dy,$$   $$\mbox{$C$\ は定点から $(x,y)$\ まで至る曲線}$$

は単連結近傍で一価関数を定義し、$u_x=f$, $u_y=g$ を満たす。

この結果を用いる。

$$\psi_x=-v,\quad \psi_y=u$$

なので、$f=-v$, $g=u$ として適用する。条件 $f_y=g_x$ は $-v_y=u_x$ となるが、 これは非圧縮性条件に他ならないので確かに成立している。 線積分は

$$\psi(x,y)=\int_C f\Dx+g\Dy=\int_C (-v\Dx+u\Dy)$$

となる。

「単連結とは、$D$ 内に置かれたいかなる閉曲線も 途中 $D$ の外にはみ出さない連続的変形によって $1$ 点に縮められること。」