2.2 これまでに解読できたこと

手短にまとめると、 Napier は、現代の理工学者ならば微分方程式を使うに違いないような、 仮想的な運動により対数を定義しました。 (Napier はガリレオとほぼ同時代人で、 微積分が存在しない時代に活躍した人なので、 時代を超越したことをやり遂げたように思われます)、

$10^7$ の長さの線分 $P_0O$ を考える。 初速度 $10^7$ で $P_0$ をスタートし、 $O$ に向かう動点 $P$ を考える。 動点 $P$ の速さは $PO$ の長さに等しいとする。 一方で別の線分上を，$L_0$ から一定速度 $10^7$ で動く点 $L$ を考える。 同じ時間経過したときの動点 $P$ と動点 $L$ の位置を それぞれ $x = P O$ , $y = L_0L$ とおくとき $y$ は $x$ の関数とし、 このとき $y$ を $x$ の対数という。

現代の理工系の人間ならば当然

$$x(0)=10^7,\quad \frac{d x}{d t}(t)=-x(t).$$ (1)

この解は

$$x(t)=10^7 e^{-t}.$$   ゆえに$$\quad t=-\log\frac{x}{10^7}.$$

一方 $y(t)=10^7 t$ であるから、

$$y=-10^7\log\frac{x}{10^7}.$$   ゆえに$$\quad \frac{y}{10^7}=-\log\frac{x}{10^7}.$$

つまり Napier の対数を $\mathrm{Nap Log}$ と書くことにすると、

$$\mathrm{Nap Log}\; x=-10^7\log\frac{x}{10^7}=10^7\log_{1/e}\frac{x}{10^7}.$$

しばしば、Napier の対数は底が $\dfrac{1}{e}$ であると言われますが、 そう言われる理由も分ります (ただし底という概念があったわけでもないし、 $e$ や $1/e$ の数値が出て来るわけではない) なるのはもっともに思えます。

Napier は20年かけて数値計算することで対数表 (正確に言うと、 7桁精度の三角関数の対数の表) を作成しました。 $10^7$ による乗除算があるのは、小数を避けるための工夫です。