B..2 変形 Bessel 関数

$$y''+\frac{1}{x}y'-\left(1+\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0$$

を変形 Bessel の微分方程式と呼ぶ。

$x=i x'$ と変数変換すると通常の Bessel の微分方程式が得られる。 これから $J_\nu(i x)$, $Y_{\nu}(ix)$ が解の基本系になるが、 これは分かりづらいので、

$$I_\nu(x):= \left(\frac{x}{2}\right)^{nu} \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{m!\mathit{\Gamma}(\nu+m+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m},$$

$$K_\nu(x):=\frac{2}{\pi} \lim_{\alpha\to\nu} \frac{I_{-\alpha}(x)-I_\alpha(x)} {\sin\alpha\pi}$$

とおくと、 $I_\nu(x)$, $K_\nu(x)$ が解の基本系になる。 このうち $x=0$ で連続な解を与えるのは $I_\nu(x)$ の方だけである。

なお、

$$I_\nu(x)=\exp\left(-\frac{1}{2}\nu\pi i\right) J_\nu(i x)$$

という関係がある。

なお、

$$y''+\frac{1}{x}y'-\left(k^2+\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0$$

の一般解は (通常の Bessel の微分方程式と同様に)

$$y=A I_\nu(k x)+B K_\nu(k x).$$