B..1 Kepler の方程式

離心近点角 $E$, 平均近点角 $M$, 楕円の離心率 $e\in [0,1)$ について

$$E-e\sin E=M$$

が成り立つが、これを Kepler の方程式と呼ぶ。 この解は Bessel 関数を用いて

$$E=M+\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n}J_n(n e)\sin nM$$

と解ける。

($M$ と $e$ が与えられて $E$ を 求めるには、ということだろうけれど、 数値的に求めるだけならば、 直接方程式を Newton 法で解くのが早いだろうな。 まあ、パラメーター依存性とか見るにはよいのだろうけれど。)

(書きかけ) 楕円軌道 $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ で、 焦点 $(c,0)$ ( $c=\sqrt{a^2-b^2}$) に 「太陽」があるとする。 近日点 $(a,0)$ が $\pi=(1,0)$ となるように 縮尺を変えると、 太陽の位置は $\mathrm{S}=(e,0)$ となる ($e:=c/a$)。 単位円上を等角速度で動く仮想の天体を考える。 ただし、 周期と近日点を過ぎるタイミング は問題としている惑星と同じとする。 ある時刻に平均近点角が $M$ であるとは、 その仮想の天体の座標が $(\cos M,\sin M)$ ということである。 問題の惑星の位置を $\mathrm{P}=(x,y)$ とする。 単位円上の点 $\mathrm{P}'$ を $\mathrm{P}'=(x,\sqrt{1-x^2\;}\sign y)$ で定める。 $E=\angle \pi\mathrm{OP}'$ を離心近点角という。 $E$ から真近点角 $\angle \pi\mathrm{SP}=\nu$ を求めるには

$$\tan\frac{\nu}{2}= \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}$$

を解けば良い。