3.7 田所大樹「流体中に置かれた回転円柱の運動 サッカーボールの軌道 」

田所君はサッカーが趣味で、変化球のシミュレーションの話を振ったら、 興味を持ったので、 以前から注目していた野地 [13] を読むことをすすめた。 [13] では、野球のカーブが念頭にあったようだが、 田所君はサッカーボールのシュートのシミュレーションを目標においた。 [13] のトレースを続けていく途中でタイムアップとなった。

実は [13] において、 実際の野球に相当する条件での計算は出来ていない。 田所君の数値計算も、実際のサッカーボールのシュートに相当する条件での 計算は実現できていない (Reynolds数が大き過ぎる)。 リアルな問題を扱うのは大変である。 その点を打破するには、 安定して計算するための工夫を導入する必要があると思われる。 挑戦者が現れることを望む。

この研究の過程で、以下のことを学んだ。

• 流体力学の問題の無次元化の実例
• 流体力学の定番の問題である「円柱周りの流れ」の学習
  Reynolds 数が大きくなるにつれて、層流、カルマン渦、乱流が現れる。
• 非定常Navier-Stokes方程式の弱定式化、鈴木厚氏のプログラムの理解
  特性曲線法については「そのまま」受け入れた状態
• 流速、圧力から抗力、揚力を計算する方法 (田端[14])

ボールの直径は $d=22\;\mathrm{cm}$ , 大人のシュートスピードは $U=80\;\mathrm{km/h}$ , 回転の速さは毎秒 $5\sim10$ 回転という数値を採用した。

無次元化するため、代表的な長さ $L$ として $d$ , 代表的速さとして $U$ を採用した。 Reynolds数は

$$R_$$e$$=\frac{\rho U L}{\mu} =\frac{1\times10^{3}\times 22.2\times }{}$$

以下では無次元化した方程式のみを示す。

実際には、ボールが移動するので、流体の占める領域は時間変化するが、 それでは計算が面倒なので、ボールの位置を原点に取る座標系を採用する。 それは慣性系なので見かけの力は現れない。

また、有限要素法では無限領域を扱うことは難しいので、 ボールから十分離れたところに仮想的な境界を設け、 それに囲まれた有界な領域で計算を行う。

$$I:=(-2,10),\quad J:=(-1,1),$$

$$\Omega:=\left(I\times J\right)\setminus G,$$

$$G:=\left\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\relmiddle\vert x_1^2+x_2^2\le 1\right\},$$

$$\gamma_i:=\left\{(-2,x_2)\relmiddle\vert x_2\in\overline{J}\right\},$$

$$\gamma_o:=\left\{(10,x_2)\relmiddle\vert x_2\in\overline{J}\right\},$$

$$\gamma_w:=\left\{(x_1,-1)\relmiddle\vert x_1\in\overline{I}\right\} \cup \left\{(x_1,1)\relmiddle\vert x_1\in\overline{I}\right\}$$

($\gamma_i$ から空気が流入する。$\gamma_o$ から流出する。)

流速 $\bm{u}=\bm{u}(x,t)=\begin{pmatrix}u_1(x,t)\\ u_2(x,t)\end{pmatrix}$ , 圧力 $p=p(x,t)$ を求める。

$$\frac{\rd\bm{u}}{\rd t}+\left(\bm{u},\nabla\right)\bm{u} =-\nabla p+\nu\left(\Laplacian\bm{u}+\nabla(\nabla\cdot\bm{u})\right) \Omega\times(0,\infty) ,$$ (1)

$$\nabla\cdot\bm{u}=0 \Omega\times(0,\infty) ,$$ (2)

$$\bm{u}=\begin{pmatrix}U \\ 0 \end{pmatrix}\quad \text{($(x,t)\in\gamma_i\times(0,\infty)$)},$$ (3)

$$\bm{u}=\begin{pmatrix}-2\pi\eps y \\ 2\pi\eps x \end{pmatrix}\quad \text{($(x,y,t)\in \rd G\times(0,\infty)$)},$$ (4)

$$\sigma(\bm{u},p)\bm{n}=\bm{0} (x,t)\in\gamma_o\times(0,\infty) ,$$ (5)

$$\bm{t}\cdot\sigma(\bm{u},p)\bm{n}=0,\quad \bm{u}\cdot\bm{n}=0 (x,t)\in\gamma_w\times(0,\infty) .$$ (6)

ただし

$$\nu=\frac{1}{R_\text{e}},$$

$$\sigma(\bm{u},p)=-pI+2\nu D(\bm{u}),$$

$$I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad D(\bm{u})= \l... ...rd x_2}+\frac{\rd u_2}{\rd x_1}\right) & \frac{\rd u_2}{\rd x_2} \end{pmatrix}.$$

ここで $\bm{n}$ , $\bm{t}$ は境界上の点における外向き単位法線ベクトル、 単位接線ベクトルを表す。

$$U=1,\quad \eps=0.04$$   (毎秒$8$ 回転に対応)$$.$$

(5) は通常「応力境界条件」と呼ばれる。 $\bm{n}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、成分表示すると

$$\begin{pmatrix} -p \\ 0 \end{pmatrix} +2\nu \begin{pmatrix} \... ...d u_2}{\rd x_1} \right) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

整理すると

$$\ref{eq:応力境界条件}' p=2\nu\frac{\rd u_1}{\rd x_1},\quad \frac{\rd u_1}{\rd x_2}+\frac{\rd u_2}{\rd x_1}=0 (x,t)\in\gamma_o\times(0,\infty) .$$

(6) は通常「すべり境界条件」と呼ばれる。 $\bm{n}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\bm{t}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、成分表示すると

$$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix... ... \right)\\ \frac{\rd u_2}{\rd x_2} \end{pmatrix} \right) =0,\quad u_2=0.$$

整理すると

$$\ref{eq:すべり境界条件}' \frac{\rd u_1}{\rd x_2}+\frac{\rd u_2}{\rd x_1}=0,\quad u_2=0 (x,t)\in\gamma_w\times(0,\infty) .$$

(書きかけ)