B..1 考える初期値問題方程式, 積分方程式への書き換え

$t_0\in\mathbb{R}$, $\bm{x}_0\in\mathbb{R}^n$ として、

$\bm{x}\colon I\to\Omega$ が$C^1$ 級で

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t}(t)=f(t,\bm{x}(t)),\quad \bm{x}(t_0)=\bm{x_0}$$ (11)

を満たすことと、 $\bm{x}\colon I\to\Omega$ が連続で

$$\bm{x}(t)=\bm{x}_0+\int_{t_0}^t f(t,\bm{x}(s))\D s$$ (12)

を満たすことは同値である。