1.2 現象数理研究IIですること

既に説明したように、現象数理研究IIの金曜4限には、 おもにコンピューター実習をする。 卒業研究で偏微分方程式に関係するテーマを選べるように (選択肢を広げるために)、 簡単な偏微分方程式を解いて、 その結果を可視化・分析・レポートできるようになるのが目標である。

数値計算の方法としては、以下を考えている。

• 差分法 … サンプル・プログラムは C 言語で書いたものが多い。 とりあえずそれを踏み台にして進める。
  将来、実際に解く場合は、Julia, MATLAB, (もしかしたら) Python を使うのが良いかもしれない。 今学期のうちに、 自分が有力と思うプログラミング言語でプログラムを書き始めることは良いかも (作ったら紹介して下さい)。
• 有限要素法 … FreeFem++ というソフトウェアがあり、 多くの偏微分方程式の問題を、非常に簡潔なプログラムで数値計算することができる。 簡単な紹介をする予定。

まずは差分法で「発展系の数値解析」の輪講と、 そこに載っている計算例を再現することから始める。

「発展系の数値解析」は空間1次元の熱方程式を扱っているが、 波動方程式や空間2次元 (長方形領域、円板領域など) の話は

「桂田研卒研ノート 差分法」
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/#fdm

に解説がある (過去の卒研で分かったことのまとめ)。 「『発展系の数値解析』に加えること」, 「熱方程式に対する差分法 I -- 区間における熱方程式」, 「熱方程式に対する差分法 II -- 円盤領域、円柱領域、球領域における熱方程式」, 「波動方程式に対する差分法」 など。

サンプル・プログラム置き場として、

「公開プログラムのページ」
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/program/

• 空間1次元熱方程式
  http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/program/#heat1d
• 空間2次元熱方程式
  http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/program/#heat2d
• 波動方程式
  http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/program/#wave

を紹介しておく。

(差分法で空間2次元の場合に深入りするよりは、 有限要素法を学ぶ方が実践的かもしれない。)

有限要素法については、

「FreeFem++ の紹介」
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/welcome-to-freefem/

という “紹介文書” を書いた。その内容をゼミの時間に説明するつもり。 その後、輪講形式で勉強できるようにしたいけれど…