3.3 数値積分

これについては、私は応用複素関数という講義で説明している。 迷いながら講義したせいで、 講義ノート (http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/applied-complex-function-2019/numerical-integration-2019.pdf, http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/applied-complex-function-2019/numerical-integration.pdf) には色々なことが書いてある。 関数論と縁の深い、 高橋・森の誤差解析や二重指数関数型数値積分公式 (double exponential formula) が学ぶに値するものである。

参考になるのは、書籍としては

杉原正顯, 室田一雄, 数値計算法の数理, 岩波書店 (1994)

という和書。しかしあまりページ数は割かれていなくて、 論文や研究発表を読むことになるかもしれない (研究発表は日本語で読めるものが多い)。

自分で数値実験をしつつ、重要な定理を理解するのがおすすめ。

Julia では、簡単に多倍長演算が行えるので、 数値実験には有利であると考えている。

(脱線) 一方、数値積分は現在ではかなり煮詰まった¹感じのするテーマであり、 今でも研究している人はいて、その人達の話を聞くと感心するけれど、 初学者が研究テーマに選ぶのはつらいところがあるかもしれない (勉強のテーマとしては良いのだけど…)。 自分で何か良いアイディアを出す必要がある。

比較的近い(と個人的に考えている)話題に、 Laplace方程式の境界値問題を解くためのアルゴリズムである代用電荷法 (charge simulation method, 基本解の方法とも呼ぶ) がある。 私の院生に、 代用電荷法における精度保証付き数値計算をテーマに研究している人がいて (今度修論発表がある)、 その後を続けるのは良いかも。