D..4.1 Mathematicaでやってみよう

典型的な極値問題。微分係数が 0 となる点を求めて、 そこで Hesse 行列を求めて、符号 (正値?負値?不定符号?) を調べて、 極値かどうかを判定する。

$\displaystyle f(x,y):=2x^3+6x y^2-2x
$

In[1] := f[x_,y_]:=2x^3+6x y^2-2x
In[2] := jf[x_,y_]:=D[f[a,b],{{a,b}}]/.{a->x,b->y}
In[3] := jf[x,y]
In[4] := H[x_,y_]:=D[f[a,b],{{a,b},2}]/.{a->x,b->y}
In[5] := MatrixForm[H[x,y]]
(ヤコビ行列を表す記号として、 昔風の $ Jf$ を思い出して使ったけれど、案外良いかもしれない。 合わせるために Hesse 行列を $ Hf$ と表すか?)


\begin{jremark}
\begin{enumerate}[(1)]
\item
単に $f$ のヤコビ行列を...
...に計算出来ることに注目しよう。
\qed
\end{enumerate}\end{jremark}

$\displaystyle f'(x,y)=\begin{pmatrix}6x^2+6y^2-2&12 x y\end{pmatrix},
\quad
H(x,y)=12
\begin{pmatrix}
x & y\\
y& x
\end{pmatrix}$

停留点を求めて、Hesse行列を計算して、符号を調べてみる。
In[6] := sp=Solve[jf[x,y]=={0,0},{x,y}]
In[7] := H[x,y]/. sp
In[8] := Eigenvalues[H[x,y]]/. sp
In[9] := f[x,y]/.sp
$ f'(x,y)=0$ となるのは

$\displaystyle (x,y)=\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right),
\left(0,-\frac{1}{\sqrt...
...ght),
\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right),
\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right).
$

$\displaystyle H\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
=\begin{pmatrix}0 & -4\sqrt{3...
...1}{\sqrt{3}}\right)
=\begin{pmatrix}0 & 4\sqrt{3} 4\sqrt{3} & 0\end{pmatrix}$

はともに (固有値が $ \pm4\sqrt{3}$ なので) 不定符号であるから、 $ (x,y)=(0,\pm 1/\sqrt{3})$ では $ f$ は極値を取らない。

$\displaystyle H\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)
=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}& 0  0&-4\sqrt{3}\end{pmatrix}$

の固有値は $ -4\sqrt{3}<0$ (重根) なので、 $ H\left(\frac{1}{\sqrt{3}},
0\right)$ は負値である。 ゆえに、 $ (x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)$ $ f$ は極大となり、 極大値は $ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ .

$\displaystyle H\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)
=\begin{pmatrix}4\sqrt{3}& 0  0& 4\sqrt{3}\end{pmatrix}.
$

の固有値は $ 4\sqrt{3}>0$ (重根) なので、 $ H\left(\frac{1}{\sqrt{3}},
0\right)$ は正値である。 ゆえに、 $ (x,y)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)$ $ f$ は極小となり、 極小値は $ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)=
-\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ .

$ (1,1)$ での接平面は $ z=f'(1,1)\begin{pmatrix}x-1 y-1\end{pmatrix}+f(1,1)$ であるから、
In[10] := Simplify[jf[1,1].{x-1,y-1}+f[1,1]]
と計算して、これから

$\displaystyle z=2(5x+6y-8).
$

桂田 祐史
2018-10-12