D..3.1 Mathematicaでやってみる

Taylor の定理の導出に必要な合成関数の高階導関数の計算。

$$F(t):=f(a+t p,b+t q,c+t r)$$

で定義される $F$ の2階微分までを計算しよう。

In[1] := F[t_]:=f[a+t p,b+t q,c+t r]
In[2] := F'[t]
In[3] := F”[t]
In[4] := Simplify[%]

$$F'(t)=p f_x(a+t p,b+t q,c+t r)+q f_y(a+t p,b+t q,c+t r)+r f_z(a+t p,b+t q,c+t r).$$

書くのが面倒なので $d:=(a+t p,b+t q,c+t r)$ とおくことにする (TEX だとコピーするだけなので大丈夫だけれど)。

$$F''(t) = p^2 f_{xx}(d) +q^2 f_{yy}(d) +r^2 f_{zz}(d) +2p q f_{xy}(d) +2q r f_{yz}(d) +2r p f_{zx}(d).$$