D..2 問題2

$ \R^n$ の開集合 $ \Omega$ で定義された関数 $ f\colon \Omega\to
\R^m$ について、 (a) $ f$ は連続, (b) $ f$ は各変数につき偏微分可能, (c) $ f$$ C^1$ 級, (d) $ f$ は全微分可能, という4つの条件を考える。
(1)
条件 (d) が成り立つとはどういうことか定義を述べよ。
(2)
条件 (a), (b), (c), (d) 間の関係について説明せよ。
(3)
次式で定義される $ f\colon\R^2\to\R$ について以下の (i), (ii) に答えよ。 (i) $ \R^2\setminus\{(0,0)\}$$ C^\infty$ 級であることを示せ。 (ii) $ \R^2$ で条件 (a), (b), (c), (d) を満たすかどうか調べよ。

$\displaystyle f(x,y):=
\begin{cases}
\dfrac{x^2+xy+x^2 y+y^2+y^3}{x^2+y^2} &
...
...$(x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$)}\\
1 & \mbox{($(x,y)=(0,0)$)}.
\end{cases}$



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桂田 祐史