3 研究課題2 -- Briggs の方法による対数計算

これもレポートを提出するかどうか任意(余裕がある人向けの「挑戦課題」)。 締め切りはこの講義の最終回まで。 提出方法は、 syori2＠math.meiji.ac.jp (＠はASCIIの@) に電子メールを送ること。 正数 $a(\ne 1)$ , $b$ に対して、 対数 $\log_a b$ の近似値を以下の手順で計算することができる。

$\log_a b$ の近似値の求め方 (by Briggs)

数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ を

$$a_0:=a,\quad b_0:=b,$$

$$a_{n+1}:=\sqrt{a_n},\quad b_{n+1}:=\sqrt{b_n} \mbox{($n=0,1,2,\dots$)}$$

で定め、十分大きな $n$ に対して

$$\frac{b_n-1}{a_n-1}$$

を $\log_a b$ の近似値に採用する。

Henry Briggs (1561-1630) は、歴史上初めての常用対数表を、 この方法を用いて作成した (彼は $n=54$ を採用したという。 ハイラー＆ヴァンナー, 解析教程 上, シュプリンガーフェアラーク東京 (1997) に証明がある。 対数表は、常用対数でなければ John Napier 1550-1617) が作成したもの (1614) が最初である。)。

• 十進BASICで10進1000桁で計算するには、 プログラムの先頭付近で OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
• 十進BASIC では、$\sqrt{a}$ は SQR(A) で計算できる。

以下の (1), (2) に答えよ。

(1)

Briggs の方法で $\log_{10}2$ を求め、

$$\log_{10}2=0.30102 99956 63981 19521 37388 94724 49302 67681\dots$$

と比較せよ (精度はどの程度か)。

(2)

なぜこの方法で $\log$ が計算できるか説明せよ (Briggs は微積分のない時代の人だが、微積分を使って説明しても構わない -- 高校数学レベルなのでおじけずに挑戦して下さい)。

微積分の教科書の古典である高木貞治『解析概論』岩波書店に、 対数を計算する話題 (Briggs よりはずっと近代的) が載っている。 それを試してみるのも面白いかも知れない。