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3 研究課題2 -- Briggs の方法による対数計算

これもレポートを提出するかどうか任意(余裕がある人向けの「挑戦課題」)。 締め切りはこの講義の最終回まで。 提出方法は、 syori2@math.meiji.ac.jp (@はASCIIの@) に電子メールを送ること。 正数 $ a(\ne 1)$ , $ b$ に対して、 対数 $ \log_a b$ の近似値を以下の手順で計算することができる。
$ \log_a b$ の近似値の求め方 (by Briggs)
数列 $ \{a_n\}$ , $ \{b_n\}$

      $\displaystyle a_0:=a,\quad b_0:=b,$
      $\displaystyle a_{n+1}:=\sqrt{a_n},\quad b_{n+1}:=\sqrt{b_n}$   $\displaystyle \mbox{($n=0,1,2,\dots$)}$

で定め、十分大きな $ n$ に対して

$\displaystyle \frac{b_n-1}{a_n-1}
$

$ \log_a b$ の近似値に採用する。
Henry Briggs (1561-1630) は、歴史上初めての常用対数表を、 この方法を用いて作成した (彼は $ n=54$ を採用したという。 ハイラー&ヴァンナー, 解析教程 上, シュプリンガーフェアラーク東京 (1997) に証明がある。 対数表は、常用対数でなければ John Napier 1550-1617) が作成したもの (1614) が最初である。)。 以下の (1), (2) に答えよ。
(1)
Briggs の方法で $ \log_{10}2$ を求め、

$\displaystyle \log_{10}2=0.30102 99956 63981 19521 37388 94724 49302 67681\dots
$

と比較せよ (精度はどの程度か)。
(2)
なぜこの方法で $ \log$ が計算できるか説明せよ (Briggs は微積分のない時代の人だが、微積分を使って説明しても構わない -- 高校数学レベルなのでおじけずに挑戦して下さい)。


微積分の教科書の古典である高木貞治『解析概論』岩波書店に、 対数を計算する話題 (Briggs よりはずっと近代的) が載っている。 それを試してみるのも面白いかも知れない。


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桂田 祐史
2013-05-22