2.1 行列の等比数列

一つの正方行列 $A$ の冪 $A^n$ で作られる行列の列、 いわば行列の等比数列¹

$$A^0=I, A^1=A, A^2, \cdots, A^n, A^{n+1},\cdots$$

の極限はどうなるでしょうか？ 既に学んだかもしれませんが (行列の Jordan 標準形の簡単な応用です)、 ここでは実験で試してみましょう。

注意: 以下の実験では、 乱数行列 rand() を使っているので、 小さい確率で、こちらが想定した状況にならない可能性があります。 桂田のパソコンのスクリーンのようにならない場合は、 a=rand(5,5) からやり直して下さい。

» a=rand(5,5)
» a*a
» a^2
» a^100
» a^1000
» a^10000

MATLAB では、行列 a の n 乗は a^n で計算できることが分かりますが、 この例では (大抵の行列 a に対して) n の増加と共に急速に大きくなり、 あっと言う間にオーバーフローしてしまいます。

種明かしをすると、 行列の固有値の絶対値 (その最大値をスペクトル半径と呼ぶ) を調べると事情が見えて来ます。

(上に引き続き)
» eig(a)
» r=max(abs(eig(a)))
(固有値 eigs() の、 絶対値 abs() の、最大値 max())
» a=a/r
» max(abs(eig(a)))
$1$ になるはずです…
» a^10
» a^100
» a^1000
» a^10000
あれ？と思うはずです。
» for i=1:10
a^i
end

MATLAB では max(abs(eig(a))) で a の スペクトル半径が計算できます。 a をそのスペクトル半径 r で割ることで、 スペクトル半径を $1$ に縮めることができます。 a^100, a^1000 ともにオーバーフローしていないはずですが、 それだけでなく何かが起こっていることに気がつくでしょうか？ (どうしてそうなるのか考えてみよう。)

今度はスペクトル半径が $1$ より小さい行列の冪を調べてみましょう。

(上に引き続き)
» a=0.9*a
» a^10
» a^100
» a^1000
» a^10000
0 になるはずです。

ここで等比数列の極限 $\dsp\lim_{n\to\infty}r^n$ がどうなるか思い出して、 比較してみて下さい。