2.2 まずは簡単な $e$ の計算

自然対数の底 (Euler の数, Napier の数とも言う) $e$ の計算で実践してみましょう。

$e$ は $e^x=\exp x$ の $x=1$ における値なので、テイラー展開

$$\exp x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

に $x=1$ を代入して

$$e=\exp 1=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots.$$

これを例えば 10 項まで足すと

$$\sum_{j=0}^{10}\frac{1}{j!} = 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{10!} =$$$$\mbox{\textcolor{red}{$2.7182818$}}$$$$01146\cdots$$   (赤字の位は正しい)

と (実は小数点以下第7位まで正しい) $e$ の近似値が得られます。

さて、それでこの計算をどう実行するか。 和の計算は前回やりました。

復習: 和 $\sum_{j=1}^n a_j$ の計算の定跡

s=0
for j=1 to n
    s=s+($a_j$ を計算する式)
next j

これを参考に、 一般項 $a_j=\dfrac{1}{j!}$ が漸化式

$$a_0=1,\quad a_j=\dfrac{a_{j-1}}{j}$$   $$\mbox{($j\ge 1$)}$$

で与えられることを利用すると、 次のコードが得られます。

$\dsp s_n=\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}$ を $n=10$ として計算

REM 自然対数の底をテイラー級数で計算
N=10
REM a0, s0
LET A=1
LET S=A
FOR J=1 TO N
  LET A=A/J
  LET S=S+A
NEXT J
PRINT S
END

問     色々な N に対する部分和を計算してみよう。 どうするのが良いか？ (正解と言えるものはないかもしれないが、 工夫してみよう。)

表示する桁数の指定

例えば変数 S の値を小数点以下 10 位まで表示させるには、 PRINT USING という命令を利用して

  PRINT USING "#.#########": S

(小数点 . の後に # が 10 個続いています。)

とすればOKです。 十進BASICを OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH として、 10進1000桁モードで利用すると、1000桁表示されてしまい、 逆に面倒です。こういう場合は、 小数点以下100位 (あるいは少し余裕を見て 110 位とか) まで 表示するのが良いでしょう。 そのためには、# を 100 個並べて

  PRINT USING "#.#######(中略)#####": S

(小数点 . の後に # を 100 個続ける…)

としても良いですが、# を 100 回数えながらタイプするのは面倒ですね。 少し手助けしておきます。 文字列演算機能を利用して (文字列の連結演算子 &, 文字列を指定した回数繰り返す REPEAT$(), なお文字列)、 次のようにしてみましょう。

  FMT$="#."&REPEAT$("#",100)

  PRINT USING FMT$: S

なお、FMT$, REPEAT$() の $ は、 変数や関数が文字列である場合につける決まりになっている文字です。