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2.1 テイラー展開

関数 $ f$ が点 $ a$ の近傍で解析的であれば、

$\displaystyle f(x)
=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\cdots+
\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots
$

が成り立つ (明治大学数学科学生は、 部分的には基礎数学4, 詳しくは関数論で学ぶ)。

これを関数値 $ f(x)$ の計算に用いることがあります。 具体的には十分大きな $ n$ に対して、$ n$ 項までの部分和

$\displaystyle s_n(x):=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$   $\displaystyle \mbox{(これは $x$ の多項式)}$

を計算し、それを $ f(x)$ の近似値に採用するわけです。


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桂田 祐史
2012-05-23