3.2 例題の説明

次の例題から始めます。

例題1: 二分法によって、方程式 $\cos x - x=0$ の解を計算せよ。

例題2: Newton 法によって、方程式 $\cos x - x=0$ の解を計算せよ。

この方程式は、一見シンプルですが、 式の変形で解を求めることは簡単ではありません (多分…不可能でしょう)。

一方、解が存在することを示すのは比較的簡単です。 実際 $f(x) :=\cos x - x$ とおいて、 $f$ を少し調べてみれば、 この方程式にはただ1つの実数解があって、 それは区間 $(0,1)$ にあることが分かります³。 $f$ のグラフの概形は、大雑把に言うと、 $y=-x$ をサイン・カーブ風に波打たせたものになっています。

コンピューターで描いたグラフを見れば、 $f(x)=0$ が唯一の実数解を持つことは一目瞭然です。 この唯一の実数解を求めることを目標にします。