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5 研究課題2C3 -- $ \tan z$ の Taylor 展開

これもレポートを提出するかどうか任意(余裕がある人向けの「挑戦課題」)。 締め切りはこの講義の最終回まで。 提出方法は、 syori2@math.meiji.ac.jp (@はASCIIの@) に電子メールを送ること。


微積分の教科書を見ると、 多くの初等関数 ($ \exp$, $ \cos$, $ \sin$, $ (1+x)^\alpha$, $ \log(1+x)$ など) の Taylor 展開が載っていますが、 $ \tan$ の Taylor 展開が載っている本はあまりありません。 実は $ \tan$ の Taylor 展開の一般項の係数は、 大学2年生が知っているものを使って表すことは出来ません (ベルヌーイBernoulli 数というものを使うと表示できます)。 しかし、Taylor 展開の最初の数項を求めるだけならば、 大学1,2年生レベルの数学で十分です (素朴で良ければ、 $ f(x)=\tan x$ を微分して $ f^{(n)}(0)$ を求めていけば OK -- でもこれを十進 BASIC で実行するのは至難の技)。 ここでは『関数論1』で学ぶ事項を利用して計算する方法を考えてみます。


$ \cos z$, $ \sin z$$ \C$ 全体で正則で、 $ \cos z\ne 0$ ($ \vert z\vert<\pi/2$) であるから、

$\displaystyle F(z):=\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}
$

$ \vert z\vert<\dfrac{\pi}{2}$ で正則であり、

$\displaystyle F(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$   $\displaystyle \mbox{($\vert z\vert<\dfrac{\pi}{2}$)}$

と Taylor 展開が出来るはずである。 これを求める ($ n$ が小さい方から $ c_n$ の値をいくつか求める) ことを考えよう。


\begin{jlemma}[冪級数の割り算]
一般に、$0$ の近傍における
収束冪級数
\begin{dis...
..._k c_{n-k}}{a_0}\quad\mbox{($n\in\N$)}
\end{equation}が成り立つ。
\end{jlemma}

Proof. $ g(z)=f(z)F(z)$ であるから、 絶対収束級数について成り立つ公式

$\displaystyle \left(A_0+A_1+A_2+\cdots\right)
\left(B_0+B_1+B_2+\cdots\right)
=
A_0B_0+(A_0B_1+A_1B_0)+(A_0B_2+A_1B_1+A_2B_0)+\cdots
$

すなわち

$\displaystyle \left(\dsp\sum_{n=0}^\infty A_n\right)
\left(\dsp\sum_{n=0}^\infty B_n\right)=\dsp\sum_{n=0}^\infty
\left(\dsp\sum_{k=0}^n A_k B_{n-k}\right)
$

から、

$\displaystyle f(z)F(z)
=\left(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\right)
\left(\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\right)
=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k c_{n-k}\right)z^n.
$

これが $ g(z)=\dsp\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ と等しいので、 係数を比較して、

    $\displaystyle b_0$ $\displaystyle =a_0 c_0,$
    $\displaystyle b_1$ $\displaystyle =a_0 c_1+a_1 c_0,$
    $\displaystyle b_2$ $\displaystyle =a_0 c_2+a_1 c_1+a_2c_0,$
    $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \qquad\qquad\vdots$
    $\displaystyle b_n$ $\displaystyle =a_0 c_n+\sum_{k=1}^n a_kc_{n-k}$   $\displaystyle \mbox{($n\in\N$)}$

が得られるから、上から

$\displaystyle c_0=\frac{b_0}{a_0},\quad
c_1=\frac{b_1-a_1c_0}{a_0},\quad
c_2=\f...
...a_2c_0}{a_0},\quad
\cdots,\quad
c_n=\frac{b_n-\dsp\sum_{k=1}^n a_kc_{n-k}}{a_0}$   $\displaystyle \mbox{($n\in\N$)}$$\displaystyle . \qed
$

$ \qedsymbol$

次の問に答えよ。

上の公式 (1) と、 $ \cos$, $ \sin$ の 0 のまわりの Taylor 展開

$\displaystyle \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$   $\displaystyle \mbox{($z\in\C$)}$

を用いて、$ \tan z$ の 0 のまわりの Taylor 展開を $ 10$ 次の項まで求めよ。


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Masashi Katsurada
平成23年6月15日