2.7 課題2C2

これもレポートを提出するかどうか任意。 締め切りはこの講義の最終回まで。

正数 $a$, $b$ に対して、 対数 $\log_a b$ の近似値を以下の手順で計算することができる。

$\log_a b$ の近似値の求め方 (by Briggs)

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ を

$$a_0:=a,\quad b_0:=b,$$

$$a_{n+1}:=\sqrt{a_n},\quad b_{n+1}:=\sqrt{b_n} \mbox{($n=0,1,2,\dots$)}$$

で定め、十分大きな $n$ に対して

$$\frac{b_n-1}{a_n-1}$$

を $\log_a b$ の近似値に採用する。

Henry Briggs (1561-1630) はこの方法で歴史上初めての常用対数表を作成した (彼は $n=54$ を採用したという、常用対数でなければ John Napier (1550-1617) が作成したもの (1614) が最初である)。

十進BASIC では $\sqrt{a}$ は SQR(A) で計算できる。

以下の (1), (2) に答えよ。

(1)

Briggs の方法で $\log_{10}2$ を求め、

$$\log_{10}2=0.30102 99956 63981 19521 37388 94724 49302 67681\dots$$

と比較せよ (精度はどの程度か)。

(2)

なぜこの方法で $\log$ が計算できるか説明せよ (Briggs は微積分のない時代の人だが、微積分を使って説明しても構わない)。