4 レポート課題7

以下の問題を Mathematica を用いて (半分以上) 解いて、レポートせよ。 表題 (Subject:) は「レポート課題7」、 締め切りは6月27日とする (??)。 Mathematica に与えたコマンドと結果 (この二つはノートブックを添付すると良い)、 その説明 (数式を書く必要があるが、例えば部分的に TEX を使って とか、 のように書いたりしてもよい。 もちろん説明全体を TEX で書けばなお良い。 ) の3点が必要。

1. $661775625$ を素因数分解せよ。
2. $2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数を求めよ。
3. $(a+b)^5$ の展開公式を作れ。
4. $2$ 次方程式 $x^2+a x+b=0$ を解け。 $3$ 次方程式 $x^3+a x^2+b x+c=0$ を解け。
5. 次の関数を微分せよ。 (1) $x^2\sqrt{x}+(x^3-x)\sqrt{x^2+x+1}$ (2) $$\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$$
6. (1) $$\int_0^1\frac{1}{(x-2)^5} \D x$$ (2) $$\int_0^\pi\frac{1}{2+\cos x}\D x$$

余裕があれば次の二つの問題を解いてみよう (これらは次回の課題にするつもり)。

次1.

$$\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$$ を計算せよ。また、それらの値を正確に小数に直せ。

次2.

$\alpha>0$ に対して $\sqrt{\alpha}$ を求めるために Newton 法による漸化式

$$x_n= \alpha-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2\alpha} =\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right)$$   $$\mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$

が利用できるわけだが、これを用いて $\sqrt{3}$, $\sqrt{21}$ を計算せよ。 また精度についても検討せよ。

ヒント: これら次回用の問題は、 自分で関数を定義したり、リストを使ったり工夫をすると、 とても簡単に計算できます (そこが眼目なのだけど、 素朴にやっても手で計算するよりはずっと楽に正確に計算できるはずで、 試してみるのは良いことです)。