1 数学とコンピューター

数学のためのコンピューターは NSG の三本柱

1. Numerical (computation) … 数値計算
2. Symbolic (computation) … 数式処理
3. Graphics (or visualization) … グラフィックス (可視化)

今日は N, すなわち数値計算、特に方程式の数値解法について考える。

コンピューターによる方程式の数値解法は「繰り返し」がキー

1. 線型方程式 (1次方程式) でも、 未知関数の個数 $N$ が非常に大きい問題が現われる
   例えば N=1億 (原子炉圧力容器の構造計算であるとか¹)
2. 非線型方程式の場合、問題の自由度が低くても反復計算になる。
   1. 有限回の四則では exact (厳密) に解けない問題がほとんどである。
   2. 「反復法」で多くの問題が解ける。
      すなわち、真の解 $x^*$ をある列 $\{x_n\}$ の極限としてとらえ ( $\dsp\lim_{n\to\infty}x_n=x^*$)、 十分大きな $n$ に対して $x_n$ を $x^*$ の近似として採用する。近似解ではあるが、 コンピューターで数値計算する限り、 有限精度であることは避けられないので、 exact な方法 (もしそれがあったとして) とほとんど差がない²。