4.2 非線形方程式 -- なかなか難しい

$f(x)$ が $x$ の $1$ 次式では表わせないとき、非線形方程式と呼ばれる。 もっとも簡単な非線形方程式は、$2$ 次以上の$1$ 変数の代数方程式

$$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0 \quad\mbox{($a_n\ne 0$)}$$

であろう。 「$n$ 次代数方程式は $n$ 個の根を持つ」ことは常識として 知っているはず。 また、次数 $n$ が $2$ の場合は「$2$次方程式」で、根の公式は中学 校で学んでいる (もうすぐ消えた？)。 さらに $n$ が $3$, $4$ である場合も、 ($2$ 次方程式ほどポピュラーではないが) 根の公式 ¹⁰がある。 ところが、「$n$ が $5$ 以上の場合は、 四則とべき根のみを有限回用いた根の公式は存在しない」 ことが ガロアGalois 理論を用いて証明されている (3 or 4 年の代数学で習うはず)。

代数方程式でもこんな調子なのだから、 より一般の非線形方程式を簡単な式変形のみで解くことは、 よほど運が良くない限り駄目だ、ということになる。

研究課題3-2     $3$ 次代数方程式を解くための カルダノCardano の方法について調べ、 プログラムを書いて実験せよ。