非線形方程式 -- なかなか難しい

ここでは非線形方程式について考えよう。 もっとも簡単な非線形方程式は、$2$ 次以上の代数方程式

$$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0 \quad\mbox{($a_n\ne 0$)}$$

であろう。 「$n$ 次代数方程式は $n$ 個の根を持つ」ことは常識として 知っているはず。 また、次数 $n$ が $2$ の場合は「$2$次方程式」で、根の公式は中学 校で学んでいる (もうすぐ消える？)。 さらに $n$ が $3$, $4$ である場合も、 ($2$ 次方程式ほどポピュラーではないが) 根の公式 ⁵がある。 ところが、「$n$ が $5$ 以上の場合は、 四則とべき根のみを有限回用いた根の公式は存在しない」 ことが ガロアGalois 理論を用いて証明されている (3 年の 代数学で習うはず)。

比較的簡単なはずの代数方程式でもこんな調子なのだから、より一般の 非線形方程式を簡単な式変形のみで解くことは、よほど運が良くない 限り駄目だ、ということになる。