1.0.0.1 解説 (2011/7/18)

		$\displaystyle \nabla f(x,y)=0$
		$\displaystyle \LongIff \left\{ \begin{array}{l} 4x^3+12x y^2-4x=0\ 4y^3+12x^2 y-4y=0 \end{array} \right.$
		$\displaystyle \LongIff \left\{ \begin{array}{l} x(x^2+3y^2-1)=0\ y(y^2+3x^2-1)=0 \end{array} \right.$
		$\displaystyle \LongIff (x=0$ or $\displaystyle x^2+3y^2-1=0)$ and $\displaystyle \quad (y=0$ or $\displaystyle y^2+3x^2-1=0)$
		$\displaystyle \LongIff \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ y=0 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ y^2+3x^2-1=0 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^2+3y^2-1=0 \ y=0 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^2+3y^2-1=0 \ y^2+3x^2-1=0 \end{array} \right.$
		$\displaystyle \LongIff \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ y=0 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ y=\pm1 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\pm1\ y=0 \end{array} \right.$ or $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^2=1-3y^2\ y^2=\dfrac{1}{4} \end{array} \right.$
		$\displaystyle \LongIff (x,y)=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) ,\left(\dfrac{1}{2... ...ft(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) ,\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right).$

$(x,y)=(\pm 1,0),(0,\pm1)$ のとき、 $H(x,y)=\begin{pmatrix}8&0\ 0 & 8\end{pmatrix}$ . これは対角行列だから、固有値

(重根) で、

は正値である。ゆえに

はこれらの点で極小となる。極小値 $f(\pm1,0)=f(0,\pm1)=-1$ .

$(x,y)=\pm\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ のとき、 $H(x,y)=\begin{pmatrix}2&6\ 6&2\end{pmatrix}$ . $\det H_1(x,y)=2>0$ , $\det H_2(x,y)=2^2-6^2=-32<0$ であるから、

は不定符号である。ゆえに

はこれらの点で極値を取らない。

$(x,y)=\pm\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$ のとき、 $H(x,y)=\begin{pmatrix}2&-6\ -6&2\end{pmatrix}$ . $\det H_1(x,y)=2>0$ , $\det H_2(x,y)=2^2-6^2=-32<0$ であるから、

は不定符号である。ゆえに

はこれらの点で極値を取らない。

まとめると、

で極大値 0 を取り、 $(0,\pm1),(\pm1,0)$ で極小値

を取る。 $\qedsymbol$

$\begin{jremark}[連立方程式の解法について] 連立代数方程式の解法については、近年、... ...鬚任④襦これから $x-y=0,1,-1$. これで未知数の消去が出来る。 \qed \end{jremark}$