B. 3次実対称行列の符号判定の公式 (蛇足)

行列式が 0 でない場合は出来ている。0 の場合を考える。

$$A=\begin{pmatrix} a&b&c b&d&e c&e&f \end{pmatrix}$$

のとき

$$\varphi(\lambda):=\det(\lambda I-A)$$

とおくと、

$$\varphi(\lambda) =\lambda^3-(a+d+f)\lambda^2+ (-b^2-c^2-e^2+ad+af+df)\lambda-\det A.$$

$\det A=0$ のとき、

$$\varphi(\lambda)=\lambda \left( \lambda^2-(a+d+f)\lambda+(-b^2-c^2-e-2+ad+af+df) \right).$$

従って、$A$ の固有値から0を一つ除いたものを $\lambda_1$, $\lambda_2$ とするとき、

$$\lambda_1\lambda_2=-b^2-c^2-e-2+ad+af+df.$$

これが負ならば、$A$ は不定符号。そうでなければ不定符号ではない。