A. 実対称行列の符号を判定する

(問10の添削を終えたあとに…)

• 不定符号の意味を勘違いしている人がいる。 実対称行列が不定符号であるとは、 正の固有値、負の固有値、 両方とも存在するということである。 もともと「正値」は「正定符号」 (positive definite) とも言って、 一定の符号を持っているというニュアンスがあり、 そうではないということで 「不定符号」 (indefinite) という言葉が出来たのだと思う。 しかし日本語で「不定符号」というのは若干イメージが湧きづらい。 絶対採用されないだろうが、「両方符号」と言ってみたい気がする。
• こういう例を出しておくのだった。
  $$A=\begin{pmatrix}1&0&0 0&-2&0 0&0&0\end{pmatrix}.$$
  これは正の固有値、負の固有値どちらもあるので不定符号。
• もう一つ出しておきたい例は、
  $$A=\begin{pmatrix}1&2&3 2&2&0 3&0&3\end{pmatrix}$$
  この特性多項式は
  $$\det(\lambda I-A)=\lambda^3-6\lambda^2-2\lambda+24$$
  で固有値は (Cardano の方法によれば)

  $$\lambda = \frac{1}{3} \left(6+\frac{7 6^{2/3}}{\sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}+\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}\right),$$

  $$\quad 2-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}{6^{2/3}}+\frac{-7+7 i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}},$$

  $$\quad 2+\frac{i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}{6^{2/3}}+\frac{-7-7 i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}}.$$

  
  
  分かりづらいけれど、これは (もちろん) いずれも実数で
  $$\lambda\kinji 5.580664\cdots,2.2874\cdots,-1.877074\cdots.$$
  これは手計算で固有値を求めようとしても無理だろう。
  
  というグラフを見れば、固有値の符号の判定はそれほど難しくないだろうが。
  $$\det A_1=1>0,\quad \det A_2=-2<0,\quad \det A_3=-24<0.$$
  であるから、正値でも負値でもなく ($+++$でも$-+-$でもないので)、 一方 0 は固有値でないので (もし0が固有値ならば $\det A=0$ のはず)、 不定符号であることが分かる。
• 「どちらでもない」は2つの選択肢の両方に合致しないということ。 正値、負値、不定符号と3つあるときは「どちらでもない」でなくて、 「どれでもない」、「いずれでもない」。
• 次数が $2$, $3$ の実対称行列の符号の判定には色々な解き方がある。 以下に一つのお勧めを示す (「行列式作戦」と呼ぶことにする)。 2次の行列の場合は、 2次方程式作戦で必ず解けるわけであるが、 3次の行列の場合は、 固有多項式が3次式で簡単には解けないので (もっとも根の符号の決定は微積分を利用して求めることは 出来るというツッコミはあるだろうが)、 行列式作戦 (首座小行列式 $\det A_k$ の符号を調べる方法) が有力と思う。
  1. 対角行列ならば、対角成分が固有値であるから、その符号を調べる。
  2. 対角行列でなければ、 すべての首座小行列 $A_k$ の行列式を計算して、正値が負値か判定する。 次の (a) と (b) が良く知られた基本的事項である。

     (a)

     $A$ が正値 $\LongIff$ $\forall k\in\{1,\dots,n\}$ $\det A_k>0$ (言い換えると $\det A_k$ がすべて正)

     (b)

     $A$ が負値 $\LongIff$ $\forall k\in\{1,\dots,n\}$ $(-1)^k\det A_k>0$ (言い換えると、$\det A_k$ ( $k=1,2,\dots,n$) の符号は順に $-$, $+$, $-$, $+$, $\dots$)

     (c)

     ここまでで正値であるかどうか、負値であるかどうかは完全に判定できている。 正値でも、負値でもないことが分かった場合、残るは不定符号であるかどうか。

     (i)

     $A$ が$2$次のときは、 $\det A(=\det A_2)$ の符号で簡単に完全に判定できる。

     $A$ が不定符号 $\LongIff$ $\det A<0$.

     実際、$A$ の固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ とするとき、 $\lambda_1\lambda_1=\det A<0$ であるから、 $\lambda_1$ と $\lambda_2$ は異符号である。 まとめると、

     $2$次実対称行列の符号の判定

     (1)

     $\det A_1>0$ かつ $\det A_2>0$ ならば $A$ は正値である。

     (2)

     $\det A_1<0$ かつ $\det A_2>0$ ならば $A$ は負値である。

     (3)

     $\det A(=\det A_2)<0$ ならば、$A$ は不定符号である。

     (4)

     $\det A(=\det A_2)=0$ ならば、$A$ は正値でも、負値でも、 不定符号でもない。

     ( $\det A_1=0$, $\det A_2>0$ ということは起り得ない。 $A=\begin{pmatrix}a&b b&c\end{pmatrix}$ という形をしているので、 $\det A=ac-b^2$ となり、$\det A>0$ から $a=\det A_1\ne 0$ が導かれる。)

     (ii)

     $A$ が$3$次の場合。 もし $\det A(=\det A_3)\ne 0$ ならば、0 は固有値でなく、 ここまでの過程で正値でも負値でもないと分かっているので、 $A$ は不定符号である。 $\det A(=\det A_3)=0$ ならば、 0 が固有値である。この場合、 $A$ の固有多項式 $p(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ は $\lambda$ を因数に持つので、 $p(\lambda)=\lambda q(\lambda)$ と因数分解できて、 $q(\lambda)$ は2次式なので、すべての固有値が必ず計算出来る。

     $3$次実対称行列の符号の判定

     (1)

     $\det A_1>0$ かつ $\det A_2>0$ かつ $\det A_3>0$ ならば $A$ は正値である。

     (2)

     $\det A_1<0$ かつ $\det A_2>0$ かつ $\det A_3<0$ ならば $A$ は負値である。

     (3)

     (1), (2) のどちらでもなく、 $\det A(=\det A_3)\ne 0$ ならば、$A$ は不定符号である。

     (4)

     $\det A_3=0$ (上の (1), (2), (3) のいずれでもない) 場合、 「固有値作戦」に切り替える。 つまり、$A$ の固有多項式 $\varphi(\lambda) =\det\left(\lambda I-A\right)$ を計算する。 これは ($\det A=0$ であるから) $\lambda$ を因数に持つので、 2次方程式の解の公式を用いれば固有値が求まる。 ゆえに符号の判定は計算可能である (公式を作ることが出来る、というか実際作ってみたけれど、 覚える価値があるとは思えないので、 ここには書かない)。

• (一般の場合の行列式作戦) 4次以上の行列の場合も、 $k=1,2,\dots$ に対して $\det A_k$ を計算して、 すべて正数になるか、 負数から始まって負と正が交互に続くかの判定をすることで、 正値か負値か完全に判定できる。 そうならなかった場合、$\det A$ を計算する。 $\det A\ne 0$ であれば、不定符号である。 $\det A=0$ の場合は少々面倒である。
• Gauss の消去法はどこに行った？という人がいるかもしれない。 個人的には Gauss の消去法が一番便利だと思っている。 まず正値であるかどうか、負値であるかどうかは完全に判定が可能である。 そして正値でも負値でもない場合 (対角線が正数続き、負数続きのいずれでもない場合)、 必要ならば行の交換をして、とにかく行列式の値を求めることが出来る。 すると、上の「3次実対称行列の符号の判定」の (3) までは出来るわけである。 だから、 「Gauss の消去法作戦」は「行列式作戦」と互角以上である。 行列式の計算を考えると、 真っ先に上がるのが Gauss の消去法で上三角行列に変換してから 求める方法であるから、「Gauss の消去法作戦」の方が有利であろう。