幾何学的考察

この定理を図形的に考えてみよう。一般に 関数 $f$ のグラフ $z=f(\vec x)$ の $\vec x=\vec a$ における接超平面は、

$$z=f'(\vec a)(\vec x-\vec a)+f(\vec a)$$

であった。$n=2$ の場合、

$$z=f'(a,b)\begin{pmatrix}x-a y-b\end{pmatrix}+f(a,b)$$

となるが、$f'(a,b)=0$ であれば、

$$z=f(a,b).$$

これは $xy$ 平面に水平な平面である。 $\qedsymbol$

上の定理の逆は成り立たない。 すなわち $f'(a)=0$ であっても、 $f$ が $a$ で極値を取らないということがありうる。 これは1変数関数でもそうである。 (反例: $f(x)=x^3$, $a=0$ とすると、$f'(a)=0$ であるが、 $f$ は $a$ で極大でも極小でもない。)

ARRAY(0xfa1a04)