証明

$\Omega$ が開集合であるから、 $\exists r>0$ s.t. $B(a;r)\subset\Omega$. 各 $i\in\{1,\dots,n\}$ に対して、

$$\varphi_i\colon (a_i-r,a_i+r)\ni x_i\mapsto f\left(a_1,\dots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\dots,a_n\right)\in\R$$

を考えると、これは $x_i=a_i$ で極大値を取る。 ゆえに

$$0=\varphi_i'(a_i)=\frac{\rd f}{\rd x_i}(a)=0.$$

これが任意の $i$ について成り立つから、

$$f'(a)=\left(\frac{\rd f}{\rd x_i}(a)\right)=0.\qed$$