解答

(1)

$F(x,y):=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}$ とおく。

$$\nabla F(x,y)=\begin{pmatrix}F_x(x,y) F_y(x,y) \end{pmatrix}=\... ...c{3}{2}} 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{\dfrac{2}{3}} 1\end{pmatrix}.$$

$\left(\sqrt{\frac{3}{2}},1\right)$ における接線は、 この点を通り、 $\nabla F\left(\sqrt{\frac{3}{2}},1\right)$ を法線ベクトルに持つので、

$$\sqrt{\dfrac{2}{3}}\left(x-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)+ 1\cdot(y-1)=0.$$

整理して、

$$\sqrt{\frac{2}{3}}x+y-2=0. \qquad \left(y=-\frac{\sqrt{6}}{3}x+2\right)$$

(2)

$F(x,y):=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}$ とおく。 求める接線の接点を $(x_0,y_0)$ とすると、 これが曲線 $F(x,y)=1$ 上にあることから、

$$\frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{2}=1.$$ (1)

一方、 $\nabla F(x_0,y_0) =\begin{pmatrix}\dfrac{2x_0}{3} [1ex] y_0 \end{pmatrix}$ は曲線 $F(x,y)=1$ の $(x_0,y_0)$ における (1つの) 法線ベクトルである。 接線の傾きが $-1$ とは、 法線ベクトルが $\begin{pmatrix}1 1\end{pmatrix}$ に平行、 ということであるから、 $\exists t\in\R$ s.t.

$$\begin{pmatrix}\dfrac{2x_0}{3} [1ex] y_0 \end{pmatrix} =t \begin{pmatrix}1 1 \end{pmatrix}, \quad \left(x_0,y_0\right)=\left(\frac{3t}{2},t\right).$$ (2)

(2), (2) を連立方程式として解いて、 $(t,x_0,y_0)=\pm \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}\;},\dfrac{3}{\sqrt{5}\;}, \dfrac{2}{\sqrt{5}\;}\right)$. 接線は、 $(x_0,y_0)=\pm \left(\dfrac{3}{\sqrt{5}\;},\dfrac{2}{\sqrt{5}\;}\right)$ を通り、 $\begin{pmatrix}1 1\end{pmatrix}$ に垂直だから、 その方程式は、

$$1\cdot\left(x-\dfrac{\pm 3}{\sqrt{5}}\right) +1\cdot\left(x-\dfrac{\pm 2}{\sqrt{5}}\right)=0.$$

整理して、

$$x+y=\sqrt{5},\quad x+y=-\sqrt{5}.$$

(3)

$F(x,y,z):=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{4}$ とおき、 $F(x,y,z)=1$ の接平面で、法線ベクトルが $(1,1,1)$ に平行なものを求める。 上と同様に

$$\dfrac{x_0^2}{2}+\dfrac{y_0^2}{3}+\dfrac{z_0^2}{4}=1,$$

$$\exists t\in\R$$   s.t.$$\quad \left(x_0,\dfrac{2y_0}{3},\dfrac{z_0}{2}\right)=t(1,1,1).$$

これを解いて $(t,x_0,y_0,z_0)=\pm \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},1,\dfrac{4}{3}\right)$. 接平面は、 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り、 $\begin{pmatrix}1 1 1 \end{pmatrix}$ に垂直であることから、

$$x+y+z=3,\quad x+y+z=-3. \qed$$

Mathematica にて

F[x_,y_]:=x^2/3+y^2/2
g1 = ContourPlot[F[x, y] == 1, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, 
  AspectRatio -> Auto, Axes -> True]
g2 = Plot[{Sqrt[5] - x, -Sqrt[5] - x}, {x, -3, 3}, 
  AspectRatio -> Auto]
g=Show[g1,g2]
Export["toi12.eps",g]

g1 = ParametricPlot3D[{2Sin[u]Cos[v],Sqrt[3]Sin[u]Sin[v],Sqrt[2]Cos[u]},
{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]
g2 = Plot3D[{3-x-y,-3-x-y},{x,-3,3},{y,-3,3}]
g=Show[g2,g1,BoxRatios->{3,3,10},AspectRatio->Auto]