... $「組み立てられない$¹

大学1年生が知っているような1変数関数と、 和・差・積・商、合成、テンソル積を取ることで得られる関数の意味。

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... 出来ます²

$A$ が定める写像は全射、 $B$ が定める写像は単射ということはすぐ分かり、 次元定理を使えば、どちらも全単射と分かります。行列で言うと、 逆行列 $B^{-1}$ の存在が分かり、そうすると、右から掛け算して、 $A=B^{-1}$.

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...$ゆえに$³

こういう計算をするとき、 ヤコビ行列の成分の並べ方を間違えると、 とんでもない結果になってしまうことに注意しよう。

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... に等しいことは容易に分かる⁴

例えば $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} =\dfrac{r\cos\theta}{\sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}} =\dfrac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta$.

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... と書かれているが⁵

本当に困ったことである。 C言語のプログラムで、デカルト座標を極座標に直すには、 r=sqrt(x*x+y*y); theta=atan2(y,x); のようにする。 theta=atan(y/x); ではマズイ -- というのは常識的なのだが、 数学書の方が旧態依然のママなのは情けない。

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