微分についてのイントロ

多変数になると変数の増分 $h$ がベクトルになるので、 1変数の場合の微分係数の定義

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

は (ナンセンスな式になってしまうので) そのままの形では使えない。

多変数関数については、2つの微分がある。

(1)

全微分 $f'(a)$

(2)

偏微分 $\dfrac{\rd f}{\rd x_j}(a)$

1変数関数の微分 $f'(a)$ と良く対応するのは、 全微分の方である (だから同じ記号を使うことにしたし、 最近は「全微分」と言わずに単に「微分」と呼ぶ人も増えている ¹)。 例えば、 1変数実数値関数 $f$ のグラフ $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ に おける接線の方程式は $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ であるが、 多変数実数値関数 $f$ のグラフ $z=f(\vec x)$ 上の点 $(\vec a,f(\vec a))$ に おける接平面の方程式は $z=f'(\vec a)(\vec x-\vec a) +f(\vec a)$ である。形式上はまったく違いがなく、 覚える苦労がない。

なお、$f$ がベクトル値 $f=\begin{pmatrix}f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_m \end{pmatrix}$ である場合、

$$\frac{\rd f}{\rd x_j}(a) =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd x_j... ...ac{\rd f_2}{\rd x_j}(a) \\ \vdots\\ \dfrac{\rd f_m}{\rd x_j}(a) \end{pmatrix}$$

となるのは、これまでと同様である。

全微分と偏微分の関係はある意味簡単で、

$$f'(a) = \begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd x_1}(a) & \dfrac{\rd ... ...c{\rd f_m}{\rd x_n}(a) \end{pmatrix}=\left(\dfrac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right).$$