解説

連続関数を ``組み立てたもの'' は連続関数 (実は微分可能な関数を組み立てたものは微分可能な関数、 のように他での「応用」がある考え方)

• (任意の実係数多項式は連続関数を定める) $f(x_1,\dots,x_n)\in \R[x_1,\dots,x_n]$ ならば、 $\R^n\ni(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x_1,\dots,x_n)\in\R$ は連続。
• 指数関数、対数関数、三角関数、冪乗関数 $x\mapsto x^\alpha$, $n$ 乗根 $\sqrt[n]{x}$ は、それらの定義域上で連続
• $f\colon\Omega\to\R$, $g\colon\Omega\to\R$ がともに連続ならば、 $f+g$, $f-g$, $f g$ はいずれも $\Omega$ から $\R$ への連続関数。 $g\ne 0$ (on $\Omega$) ならば $f/g$ も $\Omega$ から $\R$ への連続関数。
• 連続関数の合成関数は連続関数。
• $f=\begin{pmatrix}f_1\\ f_2\\ \vdots \\ f_m\end{pmatrix}$ について、 $f$ が連続 $\quad\LongIff\quad$ すべての $i\in\{1, \dots,m\}$ について $f_i$ が連続。