前回やり残したことの後始末

$\dsp\lim_{x\to a}\vec f(x)=A$ の定義をするところで、 $a\in\overline I$ という条件をつけたが、これは何か? まず例で始める。 実変数の対数関数 $f(x)=\log x$ は (普通) $I:=(0,\infty)$ を定義域とする。 定義域 $I$ に属する $a$, 例えば $a=1$ に対して $\dsp \lim_{x\to a}f(x)$ を考えるのは自然である。

$$\lim_{x\to 1}\log x=\log 1=0.$$

$a=0$ は定義域 $I$ に属していないが、 $\dsp \lim_{x\to a}f(x)$ を考えることがある。

$$\lim_{x\to 0}\log x=-\infty.$$

しかし $a=-1$ に対して $\dsp \lim_{x\to a}f(x)$ を考えるのはナンセンスである。 定義域 $I$ に属する $x$ によって近づくためには、 $a$ は $\overline I$ に属する必要がある。