6.2.3 ヤコブ・ベルヌーイの螺旋、対数螺旋、等角螺旋

$$r=a e^{b\theta}$$

オーム貝、アンモナイトのような巻き貝の形。

曲線上の点の座標は

$$\varphi(\theta)= \begin{pmatrix} r\cos\theta\\ r\sin\theta \end{p... ...begin{pmatrix} a e^{b\theta}\cos\theta\\ a e^{b\theta}\sin\theta \end{pmatrix}$$

であるから、接線ベクトルは

$$\varphi'(\theta)= \begin{pmatrix} a e^{b\theta}(b\cos\theta-\sin\theta)\\ a e^{b\theta}(b\sin\theta+\cos\theta) \end{pmatrix}.$$

原点から接点に向う線分と、接線のなす角を $\alpha$ とすると、

$$\cos\alpha =\frac{(b\cos\theta-\sin\theta)\cos\theta+(b\sin\theta... ...\cos\theta-\sin\theta)^2+(b\sin\theta+\cos\theta)^2}} =\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}.$$

これが $\theta$ によらない定数であることが、 等角螺旋という名前の由来である。

力学系

$$\frac{\D}{\D t} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

の解曲線 (相平面における軌跡) も対数螺旋になる。

Java が使えるブラウザーで、 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/java/prog/ODE1.htmlにアクセスしてみよう。