5.1 楕円

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ (1)

「2定点からの距離の和が一定である点の軌跡は楕円である」の解析幾何的証明

2定点を $(c,0)$ と $(-c,0)$ , 距離の和を $2a$ ($a>c>0$ ) と置いて、

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

を移項して

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

両辺を平方して

$$\left(x^2+2cx+c^2\right)+y^2 =4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\left(x^2-2cx+c^2\right)+y^2.$$

消去、移項、整理して

$$a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx.$$

再び両辺を平方して

$$a^2\left(x^2-2cx+c^2+y^2\right)=a^4-2a^2 c x+c^2 x^2.$$

移項して

$$\left(a^2-c^2\right)x^2+a^2 y^2=a^2\left(a^2-c^2\right).$$

$b:=\sqrt{a^2-c^2}$ とおくと

$$b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2.$$

割り算して

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

円 $x^2+y^2=b^2$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍したものと考えると、

$$x=a\cos\theta,\quad y=a\sin\theta \mbox{($\theta\in[0,2\pi]$)}$$ (2)

というパラメーター表示を発見するのは簡単であろう。

set parametric
set size ratio -1
a=3
b=2
plot [0:2*pi] a*cos(t),b*sin(t)

  a=3; b=2; ParametricPlot[{a Cos[t],b Sin[t]},{t,0,2Pi}]