多変数の微分積分学1 (2011年度)

　明治大学理工学部数学科 (2年16組) 向けに開講されている科目で、 多変数関数の微分積分学のうち、微分法を扱っています。

連絡事項

• 「期末試験解説」(当日配布したプリントを少し詳しくしたもの)

期末試験

講義ノート

• (5/2) (HTML), (PDF); (5/5) (HTML), (PDF); (5/9) (HTML), (PDF); (5/12) (HTML), (PDF);
  (5/16) (HTML), (PDF); (5/19) (HTML), (PDF); (5/23) (HTML), (PDF); (5/26) (HTML), (PDF);
  (5/30) (HTML), (PDF); (6/2書きかけ) (HTML), (PDF); (6/6) (HTML), (PDF); (6/9) (HTML), (PDF);
  (6/13) (HTML), (PDF); (6/16) (HTML), (PDF); (6/20) (HTML), (PDF); (6/23) (HTML), (PDF);
  (6/30) (HTML), (PDF); (7/4) (HTML), (PDF);
  

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  これ以降は不完全です。
  (7/7) (HTML), (PDF); (7/11) (HTML), (PDF); (7/14) (HTML), (PDF); (7/18) (HTML), (PDF);
  (7/21) (HTML), (PDF);
• (参考) 2010年度版 多変数の微分積分学1講義ノート (2010/8/3)
  今年度は授業回数が少ないこともあって、 この2010年度講義ノートに書いてあるのとは、違う順で説明します。
• (参考) 2007年度 多変数の微分積分学2 第1部 講義ノート (重積分)
• (参考) 2007年度 多変数の微分積分学2 第2部 講義ノート (ベクトル解析)
• (参考) 平面曲線 (PDF), (HTML)
• 「陰関数定理の覚え方」 (2009/7/18)

演習問題プリント

• 「演習問題 Part 1」 (非売品、ではなくて非配布品)
• 「演習問題 Part 2」 (6月6日配布)
• 「演習問題 Part 3」 (7月11日配布)

授業中の問、宿題

　計算問題などは、黒板でやってもらうのが良いかもしれませんが、 そうでない問題は全員にやってもらうつもりです。

• 問1 (2011年5月5日出題, 5月12日授業開始時提出)
• 問2 (2011年5月9改め12日出題)
• 問4 (2011年5月19日出題, 5月26日授業開始時提出) (すみません。問3を飛ばしました。)
• 問3 (2011年5月23日出題, 5月30日授業開始時提出)
• 問5 (2011年5月30日出題, 6月6日授業開始時提出)
• 問6 (2011年6月6日出題, 6月13日授業開始時提出)
• 問7 (2011年6月9日出題, 6月16日授業開始時提出)
• 問8 (2011年6月20日出題)
• 問9 (2011年6月23日出題)
• 問10 (2011年7月7日出題, 7月11日授業開始時提出)
• 問11 (2011年7月11日出題, 7月18日授業開始時提出)

いわゆる過去問

　2008年度以前の試験問題は、 ずいぶん前のことなので (2002年！)、 あまり参考にはならないかもしれません。

• 2010年度の問題解説 (2011/7/21配布)
• tahensuu1-exam-all.pdf(2011/7/19 更新)

授業の記録

1. (2011/5/2) ガイダンス。多変数関数とは。1変数ベクトル値関数の性質。 講義ノート (HTML), (PDF)
2. (2011/5/5) 1変数ベクトル値関数の極限・連続性の定義、性質。 多変数関数の極限の定義、例 (その1)。 (HTML), (PDF)
3. (2011/5/9) 多変数関数の連続性。連続関数の例。 (HTML), (PDF)
4. (2011/5/12) 問1の解説。問2の演習。 開球、閉球、開集合、閉集合。 (HTML), (PDF)
   ギリシャ文字
5. (2011/5/16) 問2の解説。 R^n上の連続関数と不等式で表される集合の開、閉。 連続関数の性質のうち中間値の定理。 (HTML), (PDF)
   
6. (2011/5/19) 多変数関数の微分法。全微分と偏微分。 関数のグラフの接平面の方程式は接線の方程式と良く似ている。 偏微分は、他の変数を定数として微分すること。 C^k級の定義。 定義域を開集合とする理由。 (HTML), (PDF)
   問4を出題。1週間後が締切。
7. (2011/5/23) 問3を出題しました。1週間後が締切。 偏微分の順序交換。 (HTML), (PDF)
8. (2011/5/26) 問4の解説。 偏微分の順序交換が出来ない例。全微分の定義。 (HTML), (PDF) (大あわてで入力したので、ひどい打ち間違いがあるかもしれません。)
9. (2011/5/30) 問3の略解。問5を出題。 「全微分可能ならば連続かつ各変数につき偏微分可能で、 微分係数はヤコビ行列」、「C^1級ならば全微分可能」 を証明。 (HTML), (PDF)
10. (2011/6/2) C^1級, 全微分可能, 連続, 偏微分可能という条件の関係。 ヤコビ行列、grad, ▽ (nabla). F(a+h)-F(a)≒F'(a)h=(▽F(a),h) と書けること。 微分の意味, 線形化写像, 実数値関数のレベルセット, 法線ベクトル, 接超平面, ▽F(a)はFの値がもっとも急激に増加する方向であること。 (HTML), (PDF)
11. (2011/6/6) 問5の簡単な説明。 微分の例。 f(x)=Ax+bならばf'(x)=A. f(x)=1/2(Ax,x)+(b,x)+cならば∇f(x)=Ax+b. 問6を出題。 (HTML), (PDF)
12. (2011/6/9) 問7を出題。 合成関数の微分法。定理と証明。簡単な例。 (HTML), (PDF)
13. (2011/6/13) 問6の解説。 合成関数の微分法の続き。 逆関数の微分法。例。 (HTML), (PDF)
14. (2011/6/16) 問7の解説。 合成関数の高階の偏導関数。 (HTML), (PDF)
15. (2011/6/20) 問8 (合成関数の高階の偏導関数)。 多変数関数の平均値の定理。 (HTML), (PDF)
16. (2011/6/23) ベクトル値関数では平均値の定理は成り立たない。 多変数関数版Taylorの定理で誤差評価をする例。 (HTML), (PDF) (2011/6/27) 休講にしました。
17. (2011/6/30) 問8解説, 問9解説。 多項定理。多変数関数版 Taylor の定理。 (HTML), (PDF)
18. (2011/7/4) 極値問題。「内点で極値を取れば f'(a)=0」という定理の証明。 Hesse行列。Hesse行列の符号により極値の判定をする定理。 実対称行列の正値性、負値性、不定符号性。 (HTML), (PDF)
19. (2011/7/7) 極値問題続き。 実対称行列の首座小行列の行列式で正値性、負値性を判定する。 不定符号性もある程度調べられる。 Gauss の消去法での扱い。 Hesse行列の符号により極値の判定をする定理の証明。 問10出題 (締切7/11)。
20. (2011/7/11) 「演習問題 Part 3」 を配布した。 問10解説。 極値問題の例。f(x,y)=x^3+y^3-3x y. 問11出題 (締切7/18)。
21. (2011/7/14) 逆関数定理。これまで学んだ逆関数。 線形代数の場合 (次元定理、全射←→単射←→全単射←→det A≠0)。 1変数の場合 (狭義単調性と中間値の定理で解決)。 逆関数定理の紹介。 陰関数。陰関数の例。
22. (2011/7/18) 問11の解説。陰関数定理を書く。 陰関数の微分法。円x^2+y^2=1の場合の y'=-x/y について。

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23. (2011/7/21) Lagrangeの未定乗数法。