微分方程式2 (2013年度)

　「微分方程式2」は明治大学数学科の学生を対象とした、 偏微分方程式の入門講義です。月曜2,3限 (5203教室) で行われます。 シラバス

連絡事項

• 期末試験解説 (2014/11) この解説は更新するので、 必要になったときに印刷するのが良いと思います。

「微分方程式２講義ノート ---偏微分方程式入門---」

　以前はプリントアウトを配布していましたが、 最近は電子版の公開にとどめています。 今年度は昨年度とは内容が異なる (基本的に増える) はずです。 既に授業に出て来たところを印刷して、くらいの使い方が良いと思います。

• 2013年度版 (工事中) (PDF)
• 2012年度版 (昨年度版) (PDF)

レポート課題

　講義期間中に3回のレポート課題を出す予定です。

1. 「レポート課題1」 締切 2013/11/18, 「レポート課題1と解答」 (2014/1/1 訂正)
2. 「レポート課題2」 締切 2013/12/20 「レポート課題2と解説 Ver. 2」 (2014/1/2, 1/5, 1/6)

シミュレーション

• Java対応のブラウザーで実行 Heat1D (1次元熱方程式)
• 空間1次元初期値境界値問題 (仮称)十進BASICのプログラム (十進BASICは「 情報処理2」で説明したことがあります。)
  • 波動方程式ディリクレ境界条件 wave1d.BAS
  • 波動方程式ノイマン境界条件 wave1n.BAS
  • 熱方程式ディリクレ境界条件 heat1d.BAS
  • 熱方程式ノイマン境界条件heat1n.BAS
  自分が希望する初期値に変更して実験してみるのは難しくないはず。 計算の方法を理解したい場合、 「発展系の数値解析」, 「熱方程式に対する差分法I」, 「波動方程式に対する差分法」

過去問

• 過去問

練習問題

• 「ギリシャ文字 書き方」で検索 (学生はちょっと練習するとすぐ上手くなることが過去の経験から分っている)
• 第1章の練習問題 (2013/9/23配布)
• Fourier級数の問題 (配布はしない)
• 第2章の練習問題 (2013/10/28配布)

Java による数値シミュレーション

　ブラウザが Java に対応していれば微分方程式の解の様子が見られます。

• 『Javaによる波動方程式のシミュレーション』 2004年度卒研生伊藤秀範君のプログラム
  空間1,2次元の波動方程式の数値シミュレーションが出来る。
  2001年度三井康之君の 『Javaによる波動方程式の差分解の公開テスト』 の改良版。
• 『Java による1次元熱方程式の数値計算』 2000年度卒研生大葉敏文、佐藤晴郎君のプログラム
  講義ノート2.12にあるような 空間1次元熱方程式の数値シミュレーションが出来る。 リンク切れを直しました(2007/12/12)。
  ソースプログラム heat1d.zip (SJIS), heat1d-utf8.zip (UTF8)
• 『2次元定数係数線形常微分方程式』

授業の記録と予定

　全部で14回の授業があると思われます (休日を間違えていなければ)。

1. 第1回 波動方程式 (1) (2013/9/23) 前半ガイダンス部分のメモ
   講義ノートの 1.1, 1.2 までを解説。
2. 第2回 波動方程式 (2) (2013/9/30) 講義ノートの 1.3.1 Duhamel の原理。 第1章の練習問題の説明。
   2013/10/7 は風邪による体調不良で土壇場で休講。大変申し訳ない。
3. 第3回 波動方程式 (3) (2013/10/14) 講義ノートの 1.3.2 と 1.3.3. まず Fourier 変換による解法。 (Fourier変換の定義, Fourier変換と微分の関係, Fourierの反転公式, 単振動の方程式). Kirchhoff の公式と Poisson の公式の紹介。前者の証明。 Huygensの原理。 練習問題の11を説明していて、(1) で時間切れ。
4. 第4回 波動方程式 (4) (2013/10/21) 初期値境界値問題。 1次元波動方程式のコンピューターシミュレーション。 Fourier級数解。エネルギー保存則による解の一意性の証明。 (0,∞) での初期値境界値問題。 問題13の解説。レポート課題1。
5. 第5回 熱方程式 (1) (2013/10/28) 前回の残りで熱伝導方程式の導出。 (H-IBP) の説明と適切性。 Fourierの方法による (H-IBP) の形式解の導出。 それが終わったら固有値問題。
6. 第6回 熱方程式 (2) (2013/11/11)
   2013/11/4 は振替休日？ 形式解が解になることの証明。
7. 第7回 熱方程式 (3) (2013/11/18) Fourierの方法とスペクトル分解。 熱方程式の最大値原理と初期値境界値問題の解の一意性。
8. 第8回 熱方程式 (4) (2013/11/25) レポート課題2を出す。同次＆非同次問題。 重ね合わせの原理。非同次方程式では特解を見つけて解く。
9. 第9回 熱方程式 (5) (2013/12/2) 解の漸近的挙動、シミュレーションを見る。
10. 第10回 熱方程式 (6) (2013/12/9) エネルギーにもとづく議論, 変数変換の例. 3章に入り、Poisson 方程式と Laplace 方程式の例を解説。
11. 第11回 Poisson方程式とLaplace方程式 (1) (2013/12/16) 円盤領域におけるLaplace方程式のDirichlet境界値問題の解。 最大値原理と解の一意性。

    ---

12. 第12回 Poisson方程式とLaplace方程式 (2) (2014/1/6)
    2013/12/23 は天皇誕生日
13. 第13回 Poisson方程式とLaplace方程式 (3) (2014/1/20)
    2014/1/13 は成人の日
14. 第14回 Poisson方程式とLaplace方程式 (4) (補講、今のところ 1/21 で計画, なるべくしないで済むか、1コマで済めば良いなあ)
15. 期末試験 (2014/1/27 9:00〜 の予定)