3 ラプラシアンの固有値問題

まずは Octave で解いてみよう。

[

l]eigen_square.m

## 正方形領域のラプラシアンの固有値
function retval = eigen_square(n)
  h = 1/n;
  B=diag(ones(n-2,1),1)+diag(ones(n-2,1),-1);
  I=eye(n-1,n-1);
  A = - n * n * (- 4 * kron(I,I) + kron(B,I) + kron(I,B));
  retval = eig(A);
endfunction

[

l]eigen_square2.m

## 正方形領域のラプラシアンの固有値、固有関数
function [v,lambda] = eigen_square2(n)
  h = 1/n;
  B=diag(ones(n-2,1),1)+diag(ones(n-2,1),-1);
  I=eye(n-1,n-1);
  A = - n * n * (- 4 * kron(I,I) + kron(B,I) + kron(I,B));
  [v,lambda] = eig(A);
endfunction

  octave:1> eigen_square(10)

tic;a=eigen_square(10);toc として計算時間を計測した。

$n$	計算時間 (秒)
10	0.14443
20	7.4554
25	32.129
30	105.79

計算時間は $n^6$ に比例している？