課題内容

自分で選んだ問題に対して、有限要素法によるシミュレーションを行い、 レポートする。

• 内容を表す適当なタイトルをつけ、ページ番号をふり、 適当に section (必要ならば subsection も) に分け、 目次を作ること。
• 何かの現象の数理モデルの場合は、 モデリングについても簡単に説明すること (なぜそういう方程式になるか)。
• 微分方程式や境界条件、 時間変化する系ならば初期条件などすべての方程式を記すこと。
• 弱形式の導出を書くこと。
• 数値シミュレーションをする際のパラメーター, 境界値・初期値等についてもプログラムを見ないで分かるようにすること。
• シミュレーション用のプログラムについて簡単に説明すること (プログラムの何らかの形で添付すること -- レポートの付録に含める、別ファイルにして提出する)。 計算を再現できるための情報を含めること。
• 計算結果の分析をすること。
• 参考にした資料は参考文献表に載せること。 特に何らかのプログラムを参考にしたときは、それについて紹介すること。

以下は、自分で問題を選ぶのは難しい、という人のために、 こちらから問題を指定した、というもの。 自分で問題を選ぶ、という人はやる必要ない。

2次元非圧縮ポテンシャル流の問題は、 ほどほどの難しさで良いと思う。

(この問題は、学部の授業「応用複素関数」で取り上げているため、 こちらが色々な資料、サンプル・プログラムを用意しているということ以外に、 流体の流れならば、 ある程度現象についての直観が働くだろう、ということを考えている。)

学部生向けの課題 「応用複素関数レポート課題2」 (これは今晩にも改訂される予定) をしっかりと解く、という感じ。

1. (全員共通     なるべく2026/6/30 の授業中にやってしまって質問すること)
   $\Omega$ を長方形領域 (正方形でも構わない) とする (詳細は自分で決めて良い)。 $\bm{v}=\begin{pmatrix}1 2 \end{pmatrix}$ に対して、 $\rd\Omega$ 上の関数 $V_n$ を $V_n:=\bm{v}\cdot\bm{n}$ で定める。 ここで $\bm{n}$ は$\rd\Omega$ 上の点における外向きの単位法線ベクトルである。
   $$\Laplacian \phi=0$$   (in $\Omega$)$$,\quad \frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=V_n$$   (on $\rd\Omega$)
   の解 $\phi$ (速度ポテンシャルと呼ばれる) を求め、その等高線、 ベクトル場 $\grad\phi$ (実は $\bm{v}$ と一致するはず) を表示せよ。 以下の2つを参考にすればできるはず。

   (a)

   https://m-katsurada.sakura.ne.jp/labo/text/welcome-to-freefem/node8.html にある poisson-kikuchi.edp, poisson-kikuchi-square.edp が参考になる。 これらは、 正方形領域における Poisson 方程式の Dirichlet-Neumann 問題を解くプログラムである。

   (b)

   解の表示の仕方 (可視化) については、 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2-2026/report2026-2/node8.htmlにある sample0.edp が参考になる。

   curl -O https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/sample0.edp
   FreeFem++ sample0.edp
   

   これは円盤領域で一様流を解いたものである。

2. 自分で長方形以外の領域 $\Omega$ と、$V_n$ を選び、 速度ポテンシャル $\phi$ と流れ関数 $\psi$ を求めて、 可視化する¹。 $\psi$ の等高線はいわゆる流線なので流れの様子がわかる。 $\psi$ の求め方は、色々考えられるが、 例えば 「流線を描くために: 流れ関数 $\psi$ を求める」 を参考にすること。

   $V_n$ の選び方についての注意

   (a)

   (特に重要) まず $\dsp \int_{\rd\Omega} V_n\;\D\sigma=0$ でなければならない (そうでないと解が存在しない² 非圧縮流体なので、流出・流入の量はつりあっているはず。)。

   (b)

   ($\rd\Omega$ が滑らかな場合) 滑らかな解が欲しいなら、 $V_n$ が不連続であるのはマズイ。(長方形領域の場合、 $\bm{v}$ が滑らかであっても、 $V_n=\bm{v}\cdot\bm{n}$ は不連続になることに注意。)

3. $\phi$ を求める問題は、全周 Neumann 問題であるから、 連立1次方程式の係数行列は特異になり、 Gaussの消去法などでは解けない。 しかし反復法 (例えば CG 法) では解が求められたりする (それを期待して としている)。 CG法で必ず解けるかどうか？(もし解けないことがあったら、 以下の説明を参考にして解き直してみて、それを報告する。) また、 $\dsp\int_{\rd\Omega}V_n\;\D\sigma\ne 0$ とすると、 何がおこるか (わざと) 実験する。

   「Poisson方程式の全周Neumann境界値問題 (工事中)」
   https://m-katsurada.sakura.ne.jp/ana2026/nonopen/full-neumann.pdf