2.7 周期関数の $1$ 周期上の数値積分

この節では「複合」という接頭辞を省いて単に、台形則、中点則、 Simpson 則と呼ぶ。

$f\colon\R\to\R$ が周期 $b-a$ の周期関数である場合、$1$ 周期にわたる積分

$$I=\int_a^b f(x) \Dx$$

を台形則で計算することを考える。台形則の公式は

$$T_n=h\left(\half f(a)+\sum_{j=1}^{n-1}f(a+j h)+\half f(b)\right)$$

であったが、$f(a)=f(b)$ に注意すると

$$T_n=h \sum_{j=0}^{n-1}f(a+j h)= h \sum_{j=1}^{n}f(a+j h)$$

とも表せる。(この式からも容易にわかるように、周期関数の $1$ 周期にわたる積 分を計算する場合、台形則と中点則は本質的には同じものである。)

$f$ が $C^{2m}$-級ならば Euler-Maclaurin の公式から、

$$I-T_n= R_m=\frac{h^{2m+1}}{(2m)!}\int_0^1 B_{2m}(t) \left... ...m_{k=0}^{n-1}f^{(2m)}(a+k h+h t) \right)\Dt, \quad h=(b-a)/n$$

であるから、高精度であることが期待できる。

実際に被積分関数の計算回数をそろえて比較すると、 台形則は Simpson 則よりもはるかに高精度の値が得られることが多い。