0.0.0.6 2(改訂)の解答

(1) 変数分離形としても解けます: $\dfrac{\Dy}{y}=\Dx$ より $\log\vert y\vert=x+C$ ($C$ は積分定数) なので $\vert y\vert=e^{x+C}=e^C e^x$. これから $y=\pm e^C e^x=C' x$ ($\pm e^C$ を $C'$ と置いた). あるいは一階線形微分方程式 $y'=a(x) y$ と考えて、 解の公式 $y=C e^{A(x)}$, $A(x):=\dsp\int a(x)\Dx$ を使ってもよい。 また定数係数1階線形常微分方程式としても解けます(特性根は $1$ なので、 $y=C e^{1x}=C e^x$ が一般解)。

(2) 定数変化法を用います。$y=C(x)e^x$ とおくと、

$$\frac{\D y}{\D x}=C'(x)e^x+C(x)e^x=C'(x)e^x+y$$

なので、$y$ が微分方程式の解であるためには、 $C'(x)e^x=(x-2)e^x$ であればよい。これから $C'(x)=x-2$. ゆえに $C(x)=\dfrac{x^2}{2}-2x+D$ ($D$ は任意定数). ゆえに $y=\left(\dfrac{x^2}{2}-2x+D\right)e^x$.