一般の初期条件

$x_0$ を $f$ の定義域に含まれる任意の点とするとき、

$$u''+p u'+q u=f(x),\quad u(x_0)=u'(x_0)=0$$

を考える。

$$U(x):=u(x+x_0),\quad F(x):=f(x+x_0)$$

とおくと

$$U''+p U'+q U=F,\quad U(0)=U'(0)=0$$

となる。既に得られている定理3.1から、

$$U(x)=\int_0^x G(x-y)F(y)\;\D y.$$

これから $u$ を求めよう。まず

$$u(x)=U(x-x_0)=\int_0^{x-x_0}G\left((x-x_0)-y\right)F(y)\Dy.$$

$\xi=y+x_0$ とおくと、 $\D\xi=\D y$, $y=0$ のとき $\xi=x_0$, $y=x-x_0$ のとき $\xi=x$, $(x-x_0)-y=x-x_0-(\xi-x_0)=x-\xi$, $y=\xi-x_0$ であるから、

$$u(x)=\int_{x_0}^{x}G(x-\xi)F(\xi-x_0)\D\xi =\int_{x_0}^{x}G(x-\xi)f(\xi)\D\xi =\int_{x_0}^x G(x-y)f(y)\;\D y.$$

任意の $x_0\in \R$ を固定したとき、

$$(f\ast g)(x):=\int_{x_0}^x f(x-y)g(y)\;\D y$$

で「ずれた畳み込み」を定義するとき、

$$(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$$

が成り立つのだろうか。