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問題

1.
畳み込みについて、 交換法則 $ f\ast g=g\ast f$, 結合法則 $ (f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$ が成り立つことを証明せよ。 (注意: 後者の証明には重複積分の順序交換が必要である。)
2.
$ G$ $ y''+p y'+q y=0$ ($ p$, $ q$ は定数) の Green 関数とするとき、 $ G''+p G'+q G=0$, $ G(0)=0$, $ G'(0)=1$ が成り立つことを示せ。
3.
Cauchy の補題

$\displaystyle \int_{a}^t\int_{a}^{t_1}\cdots\int_{a}^{t_{n-1}}f(t_n)\;\D t_{n}
\D t_{n-1}\cdots \D t_1
=
\int_a^t \frac{(t-s)^{n-1}}{(n-1)!}f(s)\;\D s
$

を証明せよ。


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Masashi Katsurada
平成20年3月23日